Question

Aratati ca 10^n se poate scrie ca o suma de doua patrate perfecte, pentru orice numar natural n

Answer 1

daca  n este par ⇒ n = 2k

10^2k = 100 × 10^(2k-2) = (36 + 64) *10^(2k-2)
= (6^2 + 8^2) × 10^[ 2(k-1)]
= (6^2 + 8^2) × [10^(k-1)]^2
= 6^2 × [10^(k-1)]^2 + 8^2 × [10^(k-1)]^2
= [6 × 10^(k-1)]^2 + [8^2 × 10^(k-1)]^2

daca  n este impar  ⇒ n = 2k+1

10^(2k+1) = 10 × 10^2k = (1 + 9) ×10^2k
= (1^2 + 3^2) ×  (10^k)^2
= 1^2  (10^k)^2+ 3^2 × (10^k)^2
= (1 × 10^k)^2+ (3 × 10^k)^2