Question

Aratati ca 1supra n - 1 supra n+1=1supra n(n+1) si , folosind aceasta formula , calculati :
a)S=1supra 1×2+1supra2×3+1supra3×4+....+1supra89×90 dau 50 puncte

Answer 1

Ex. 1   
 _1_   -   _1_  = __1_
    n         n+1     n(n+1)

1.Se amplifică.

_(n+ 1)- n_  =  __1_
    n(n+1)          n(n+1)

2. Se rezolvă.

_n+ 1- n_  =  __1_
  n(n+1)         n(n+1)

   ___1___  =  __1___
    n(n+1)        n(n+1)

Ex. 2
S= _  1_ +  _1__  + _1_  +.... + __1___
        1· 2     2· 3        3·4             89· 90

P= pas de rezolvare

 1    +     1     +    1    +    1      +     .....    +   1       
1·2        2·3         3·4       4·5                      89· 90     

P₁: Se scrie fiecare numărător ca diferenţa nr. de la numitor!

 2- 1    +     3- 2     +   4- 3    +   5- 4      +     ..... +   _90- 89_ =
  1·2            2·3          3·4          4·5                             89 ·90

P₂: Se trece fiecare nr. de la numărător pe numitor!

  2   ₋  1   +    3       2   +   4       3  +  5      4    +....+  90        89     =
1·2    1·2     2·3    2·3     3·4    3·4   4·5    4·5         89·90   89·90  

P₃: Se simplifică numărătorul cu numitorul!

OBSERVĂ!
 2   ₋   1   +    3       2   +   4       3  +   5      4    +....+  90        89      =
1·2    1·2     2·3    2·3     3·4    3·4   4·5    4·5         89·90   89·90 

REDU!
1  ₋  1   +   1       1   +  1     1 +  1      1    +....+  1        1    = 
1     2        2       3       3      4     4       5            89      90  

P₄: Se reduc termenii opuşi!

OBSERVĂ!
1  ₋  1   +   1       1   +  1     1 +  1      1    +....+  1        1    = 
1     2        2      3       3    4   4    5             89      90   
 
REDU! Primul nr. e negativ următorul pozitiv.

1         1    =   
1        90                    

P₅: Se aduce la acelaşi numitor!

_90-  1_=
    90

P₆: Se rezolvă!   
    
_89_
  90