Question

aratati ca 2 la puterea 100+3la 101+4 la 102+5 la 103 este divizibil cu 5

Answer 1

Uc(2¹⁰⁰)=Uc(2⁴)=6
Uc(3¹⁰¹)=Uc(3¹)=3
Uc(4¹⁰²)=Uc(4²)=6
Uc(5¹⁰³) =5
Uc(2¹⁰⁰+3¹⁰¹+4¹⁰²+5¹⁰³)=Uc(6+3+6+5)=Uc(20)=0 deci este divizibil cu 5

Answer 2

Consideram numaul
n=2¹⁰⁰+3¹⁰²+4¹⁰³+5¹⁰⁴
Un numar natural este divizibil cu 5 daca si numai daca are ultima cifra 0 sau 5.
Asadar avem de demonstrat ca n poate avea ultima cifra 0 sau 5.
2¹=2
2²=4
2³=8
2⁴=16
2⁵=32
Observam ca ultima cifra a unui numar de forma 2ᵃ (a>0) este 2;4;8;6 repetate de 4 ori fiecare.
Asadar u.c(2¹⁰⁰)=u.c(2⁴ᵇ)=6
3¹=3
3²=9
3³=27
3⁴=81
3⁵=243
Observam ca ultima cifra a unui numar de forma 3ᵃ(a>0) este 3;9;7;1 repetate de 4 ori fiecare.
Asadar u.c(3¹⁰¹)=u.c(3⁴ᵇ⁺¹)=3
4¹=4
4²=16
4³=64
Observam ca ultima cifra a unui numar de forma 4ᵃ(a>0) este 4;6 care se repeta de 2 ori fiecare.
u.c(4¹⁰²)=6
u.c(5¹⁰³)=5
In final obtinem ca u.c(n)=u.c(6+3+6+5)=u.c(20)=0 =>este divizibil cu 5.