Question

aratati ca 2⁹⁹⁰-1 este divizibil cu 21​

Answer 1

Răspuns:

(2^990-1) este multiplu de 21

Explicație pas cu pas:

Scriem diferența data ca o suma de puteri de 2.

Suma începe cu 2 la puterea 0 și se termina cu 2 la puterea 989.
Observam ca suma primilor 6 termeni este 63, iar 53 este multiplu de 21 (63=3•21)

Suma puterilor lui 2 are 990 termeni .
Vor fi 165 de grupe la care va exista factorul comun 63. => (2^990 -1) este multiplu de 21

Rezolvarea este in imagine.

Multă bafta!

Answer 2

Explicație pas cu pas:

dacă S = 2⁰+2¹+2²+... +2⁹⁸⁹, atunci: S = 2⁹⁹⁰-1

S = 2⁰+2¹+2²+... +2⁹⁸⁹ |×2

2S = 2¹+2²+... + 2⁹⁸⁹ +2⁹⁹⁰ | + 1

2S + 1 = 2⁰+2¹+2²+... +2⁹⁸⁹+2⁹⁹⁰

2S + 1 = S + 2⁹⁹⁰

S = 2⁹⁹⁰ - 1

---

S = 2⁰+2¹+2²+... + 2⁹⁸⁹

suma are 990 termeni

observăm că 2⁰ + 2¹ = 1 + 2 = 3

și 2⁰ + 2¹ + 2² = 1 + 2 + 4 = 7

dacă grupăm termenii câte 2:

S = (2⁰+2¹) + (2²+2³) +... + (2⁹⁸⁸+2⁹⁸⁹) = 1×(2⁰+2¹) + 2²×(2⁰+2¹) +... + 2⁹⁸⁸×(2⁰+2¹) = (2⁰+2¹)×(1+2²+...+2⁹⁸⁸) = 3×(1+2²+...+2⁹⁸⁸) => divizibil cu 3

dacă grupăm termenii câte 3:

S = (2⁰+2¹+2²) + (2³+2⁴+2⁵) +... + (2⁹⁸⁷+2⁹⁸⁸+2⁹⁸⁹) = 1×(2⁰+2¹+2²) + 2³×(2⁰+2¹+2²) +... + 2⁹⁸⁷×(2⁰+2¹+2²) = (2⁰+2¹+2²)×(1+2³+...+2⁹⁸⁷) = 7×(1+2³+...+2⁹⁸⁷) => divizibil cu 7

=> divizibil cu 3×7=21

$q.e.d.$