Question

aratati ca 3^1+3^2+...+3^2016 divide pe 13 ,ajutor ,va rog dau coroana

Answer 1

$S=3+ 3^{2} +3 ^{3}+...+3 ^{2016} = \\ =3(1+3+3 ^{2}+...+3^{2015})= \\ =3[(1+3+3^{2})+3^{3}(1+3+3^2)+3^6(1+3+3^2)...+3^{2013}(1+3+3^2)] \\= 3(1+3+3^2)(1+3^3+3^5...+3^{2013}) = \\ =3*\boxed{13}*(1+3^3+3^6+...+3^{2013}) \Rightarrow S-divizibil~cu~13.$

Answer 2

3¹ + 3² + 3³ +3⁴ +  .... + 3²⁰¹⁶   se divide cu  13     
suma  de 2016 numere  , gruparea  se face cate  3 
3¹ + 3² +3³ =  39  se divide cu 13 
3⁴ + 3⁵ +3⁶ = 3³ ·( 3¹ + 3² +3³ )   = 3³ · 39 se divide cu 13 
2016 = 3· 672 
in ex . avem 672  grupe de trei , fiecare de divide cu 13
3²⁰¹⁴ + 3²⁰¹⁵ + 3²⁰¹⁶ = 3 ²⁰¹³ · ( 3 + 3² + 3³)  = 3 ²⁰¹³ ·39