Question

Arătati că dacă a,b,c>0, atunci
atunci cel puțin una dintre ecuațiile
x^2- 2ax + 2bc =0, x^2- 2bx+2ca =0,x^2 - 2cx + 2ab = 0 nu are rădăcinile reale.

Answer 1

Răspuns:

$4 {a}^{2} - 8bc \\ 4 {b}^{2} - 8ca \\ 4 {c}^{2} - 8ab$

Mai sus sunt toate discriminantele.

Prin metoda reducerii la absurd:

Fie ca toate expresiile sunt pozitive.

4a^2 > 8bc

4b^2 > 8ca

4c^2 > 8ab

Vom avea mai departe:

4(a^2 + b^2 + c^2 - 2(ac + bc + ab)) > 0.

De aici ar trebui să putem simplifica expresia in (a + b + c)^2, dar nu putem, deoarece presupunerea este gresita. Deci trebuie să existe cel putin o expresie cu radacina complexa.