Question

Aratati ca daca n este un numar intreg,atunci n(n-1)(n+1)(n*n+1) este divizibil cu 5
n*n e defapt n la purerea a 2-a
La raspunsuri imi zice sa analizez pe rand cazurile in care n este de forma 5k ,5k+1, 5k+2 ,5k+3 ,5k+4 ....eu nu inteleg

Answer 1

Produsul este divizibil cu 5 daca unul dintre factori este divizibil cu 5.

Din punct de vedere al divizibilitatii cu 5, numerele intregi pot da, la impartirea cu 5, urmatoarele resturi: {0, 1, 2, 3, 4}. Deci numerele intregi pot fi: multipli de 5 (pe care-i notam M5 si acestia dau restul 0 la impartirea cu 5), sau (multipli de 5)+1, sau (multipli de 5)+2, sau (multipli de 5)+3, sau (multipli de 5)+4. Dar multiplii de 5 se pot exprima in forma 5*k, unde k poate fi orice numar intreg.
Asadar, n poate lua formele: 5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4.
Analizam, pe rand aceste variante:
1) Daca n=5k, unde k∈Z:
n(n-1)(n+1)(n*n+1)=5k(5k-1)(5k+1)[(5k)*(5k)+1]=M5, deci este divizibil cu 5

2) Daca n=5k+1, unde k∈Z, deci n-1=5k, deci unul dintre factori este divizibil cu 5, prin urmare produsul:
n(n-1)(n+1)(n*n+1)=(5k+1)5k(5k+2)(n*n+1) este divizibil cu 5.

3) Daca n=5k+2, unde k∈Z:

n(n-1)(n+1)(n*n+1)=(5k+2)(5k+1)(5k+3)[((5k+2)*(5k+2)+1]=

=(5k+2)(5k+1)(5k+3)(25k*k+20k+4+1)=

=(5k+2)(5k+1)(5k+3)(25k*k+20k+5)=

=(5k+2)(5k+1)(5k+3)5(5k*k+4k+1) are un factor de 5 deci este divizibil cu 5.


4) Daca n=5k+3, unde k∈Z:

n(n-1)(n+1)(n*n+1)=(5k+3)(5k+2)(5k+4)[((5k+3)*(5k+3)+1]=

=(5k+3)(5k+2)(5k+4)(25k*k+30k+9+1)=

=(5k+3)(5k+2)(5k+4)(25k*k+30k+10)=

=(5k+3)(5k+2)(5k+4)5(5k*k+6k+2) are un factor de 5 deci este divizibil cu 5.


3) Daca n=5k+4, unde k∈Z:

n(n-1)(n+1)(n*n+1)=(5k+4)(5k+3)(5k+5)[((5k+4)*(5k+4)+1]=

=(5k+4)(5k+3)5(k+1)[((5k+4)*(5k+4)+1] are un factor de 5 deci este divizibil cu 5.