Question

Arătați ca dacă un număr natural are numai patru divizori,atunci el este cubul unui număr prim sau este produsul a doua numere prime distincte.

Answer 1

Daca n are patru divizori, atunci are doi divizori improprii: 1 si n, si doi divizori proprii, pe care ii notam cu a si b
a*b=n
Orice numar compus are cel putin un divizor prim
Sa spunem ca a este prim
Avem doua variante pentru b

1) b este prim, atunci n este produsul a doua numere prime distincte

2) b este compus
Avem doua posibilitati:
_b nu se divide cu a, atunci cum b este compus, mai exista doua numere care inmultite dau b si care se pun ca divizori de n, atunci n nu va mai avea numai 4 divizori
_b se divide cu a, atunci b = a*k
$Daca~a\neq k$
Atunci n il are ca divizor si pe k, avand in total 5 divizori si nu 4, rezulta a=k
$b=a\cdot a=a^2$
$n=a\cdot b=a\cdot a^2=a^3$
a fiind numar prim, n este cubul unui numar prim