Question

Aratati ca daca x,y apartin R+ , astfel incat x+y=2 , atunci :
a) xy<=1 , b) x2+y2>= 2; c)x3+y3>=2; d) x4+y4>=2;

Answer 1

a.  √xy <=x+y /2 (din inegalitatea mediilor) <=> xy <=(x+y)² /4 =2² /4 =4/4=1 => xy <=1 pentru orice x,y∈R₊ a.i. x+y=2 ;

b.  √x²+y² /2 >=x+y /2 (din inegalitatea mediilor) <=> x²+y² /2 >=(x+y)² /4 <=> x²+y² /2 >=1 <=> x²+y² >=2 pentru orice x,y∈R₊ a.i. x+y=2 ;

c.  x³+y³=(x+y)(x² -xy +y²) <=> x³+y³=2(x² -xy +y²) >=2·(2-1)=2 pentru orice x,y∈R₊ a.i. x+y=2 ;

d.  x⁴+y⁴=(x²+y²)² -2(xy)² >=2² -2·1=4-2=2 pentru orice x,y∈R₊ a.i. x+y=2 .