Question

Aratati ca daca z^2+z+2=0 , unde z este numar complex , atunci z^2+4/z^2=-3

Answer 1

z²+z+2=0 , unde z este numar complex

z²+z+2=0

Δ=1-8=-7; √Δ=i√7

z1=(-1+i√7)/2  si z2=(-1-i√7)/2; z2= -(1+i√7)/2)

verificăm z1 si z2 în z²+4/z²=-3

(z1)²= [(-1+i√7)/2]²=(1-2i√7-7)/4=(-6-2i√7)/4= - (3+i√7)/2

=>( z1)²+4/(z1)²=

=-(3+i√7)/2-4/[(3+i√7)/2]

=-(3+i√7)/2-8/(3+i√7)

=-(3+i√7)/2-8(3- i√7)/(9+7)

=-(3+i√7)/2- (3- i√7)/2

=(-3- i√7-3+ i√7)/2

=-6/2

= -3 (Adevarat)

(z2)²= [(1+i√7)/2]²=(1+2i√7-7)/4=(-6+2i√7)/4= -(3-i√7)/2

=>( z1)²+4/(z1)²=

=-(3-i√7)/2-4/[(3-i√7)/2]

=-(3-i√7)/2-8/(3-i√7)

=-(3-i√7)/2-8(3+ i√7)/(9+7)

=-(3-i√7)/2- (3+i√7)/2

=(-3+ i√7-3- i√7)/2

= -6/2

= -3 (A)

Deci, daca z^2+z+2=0 , unde z este numar complex , atunci z^2+4/z^2=-3