Question

Aratati ca expresia 20^n-8^n-5^n+2^n este divizibila cu 9.

Answer 1

Folosesc formula:

$(a+b)^n = M_a +b^n$

Unde $M_a$ înseamnă multiplu de a.

$20^n - 8^n - 5^n+2^n = 4^n\cdot 5^n - 2^n\cdot 4^n - 5^n+2^n = \\ \\ = 4^n\cdot (5^n-2^n)-5^n+2^n = \\ \\ = 4^n\cdot (5^n-2^n)-(5^n-2^n) = \\ \\ =(5^n-2^n)(4^n-1) = \\ \\ = \Big[(3+2)^n - 2^n\Big]\Big[(3+1)^n - 1\Big] = \\ \\ =\Big(M_3+2^n-2^n\Big)\Big(M_3+1^n-1\Big) = \\ \\=\Big(M_3+0\Big)\Big(M_3+0\Big)= \\ \\=M_3\cdot M_3 = M_9$

=> Expresia este divizibilă cu 9.