Question

Daca x•y•z=1 aratati ca si urmatoarea expresie este adevarata 1/(1+x+xy)+1/(1+y+yz)+1/(1+z+zx)=1 .

Answer 1

$xyz =1 \\ \\ E =\dfrac{1}{1+x+xy}+\dfrac{1}{1+y+yz}+\dfrac{1}{1+z+zx} \\ \\ E =\dfrac{z}{z+xz+1}+\dfrac{x}{x+xy+1}+\dfrac{y}{y+yz+1}\\ \\ E = \dfrac{zy}{zy+1+y}+\dfrac{xz}{xz+1+z}+\dfrac{yx}{yx+1+x} \\\\--------------------\,(+)$

Adunăm cele 3 egalități și adunăm termenii cu același numitor, între ei.

$3E = \dfrac{1+x+yx}{1+x+xy}+\dfrac{1+y+zy}{1+y+yz}+\dfrac{1+z+xz}{1+z+zx} \\ \\ 3E = 1+1+1 \\ \\ 3E = 3 \\ \\ \Rightarrow \boxed{E = 1}$