Question

Arătați că f este mărginită pe R.
f:R-R, f(x) = (x^2-1)/(2x^2+3)

Answer 1

(x²-1)/(2x²+3)=(x²+1,5-2,5)/(2x²+3)=(x²+1,5)/(2x²+3)-2.5/(2x²+3)=

1/2-2,5/(2x²+3)


2x²+3∈[3,∞)
2,5/(2x²+3)∈ (0;5/6]

f(x)=1/2-2,5/(2x²+3)∈[-1/3;1/2), f(x) marginita

cred ca e bine, pt ca -1/3 se atinge pt x=0 si 1/2 este limita la +si la -∞

Answer 2

Nu stiu daca este aceeasi rezolvare ca a lui albatran, dar si eu folosesc un artificiu de calcul$f(x)=\frac{x^{2}-1}{2x^{2}+3}=\frac{x^{2}+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}-1}{2x^{2}+3}=\frac{x^{2}+\frac{3}{2}}{2(x^{2}+\frac{3}{2})}-\frac{\frac{3}{2}+1}{2x^{2}+3}=\frac{1}{2}-\frac{5}{2(2x^{2}+3)}$Vedem ca daca functia tinde la + sau - infinit, fractia doi devine nula si limita tinde la 1/2$lim_{+inf}f(x)=lim_{-inf}f(x)=1/2$
Observam ca x^2 are valoarea minima obtinuta pentru x=0, atunci$f(0)=\frac{1}{2}-\frac{5}{6}=-\frac{1}{3}$Deci valoarea minima a functiei va fi -1/3. functia va scade la la 1/2 la -1/3 pe intervalul (-inf,0] si va creste de la -1/3 la 1/2 pe intervalul [0,inf)