Question

Arătaţi că functia f este continua in punctul X0=1
Arătaţi ca functia f nu este derivabilă in punctul X0=1
Demonstrați că
$f(x) + f {x}^{2} + f {x}^{3} \leqslant 6$
pentru orice numar real x


​

Answer 1

Răspuns:

f(x)={1+x   x<1

{1+1/x x≥1

a) trebuie demonstrat va limitele laterale in 1  sunt egale intre  ele si sunt egale cu valoarea functiei in 1

Ls  x->1  x<1 limf(x)=lim(1+x)=1+1=2

Ld x->1x>1 lim f(x)-lim(1+1/x)=1+1/1=`+1=2

f(1)=1+1/1=1+1=2

Ls=Ld=f(1)=2=> f continua in 1

b) calculezi limitele in punctul x=1

f `(x)=lim[f(x)-f(1)]/(x-1)

x->1 x<1f `s(x)=lim(1+x-1-1)/(x-1)=lim(x-1)/(x-1)=1

x->1 x>1f`d(x)=lim[(1+1/x)-1-1/1]/(x-1)=lim(1/x-1)/(x-1)=lim(1-x)/x(x-1)=-lim1/x= -1

1≠-1    f`s≠f `d=>f nu este dericvabila   in 1

c)   caz x<1

Functia   f este crescatoare=> valoarea maxima o va lua in 1

f(x)=1+x

f(x²)=1+x²

f(x³)= 1+x³

-----------------------------------------------------------------------

f(x)+f(x²)+f(x³)

1+x+1+x²+1+x³=3+x+x²+x³ Deoarece in x=1 ia val maxim, faci x=1

3+1+1²+1³=3+1+1+1=6≤6

caz x>1

f(x)=1+1/x

f(x²)=1+1/x²

f(x³)=1+1/x³

--------------------------------------

f(x)+f(x²)+f(x³)=

1+1/x+1+1/x²+1/x³=3+1./x+1/x²+1/x³

Functia f este descrescatoare pe[1,+∞) deciia valoarea maxima in 1

Inlocuiesti pe x=1 in  relatia de mai sus au aflii valoarea maxima  a sumei

3+1/1+1/1²+1/1³=3+1+1+1=6

=> Pt x≥1   f(x)+f(x²)+f(x³)≤6

Explicație pas cu pas: