Question

Aratati ca N este divizibil cu 170, unde
N=$2^{n} + 5^{n+1} + 2^{n+1} * 5^{n} + 2^{n+1} * 5^{n+1}$ , unde n∈N*

Answer 1

$N=2^{n}\cdot5^{n}\cdot5~+~2^{n}\cdot2\cdot5^{n}~+~2^{n}\cdot2\cdot5^{n}\cdot5$
$N=10^{n}\cdot5+10^{n}\cdot2+10^{n}\cdot10$
$N=10^{n}(5+2+10)$
$N=10^{n}\cdot17$
$N\in \mathbb{N} \ast \Rightarrow n\geq1 \Rightarrow10^{n}\geq10 \Rightarrow10^{n-1}\geq1 \Rightarrow10^{n-1}\in \mathbb{N}$
$N=10^{n-1}\cdot10\cdot17$
$N=10^{n-1}\cdot170$
$\frac{N}{170}=\frac{10^{n-1}\cdot170}{170}=10^{n-1}\in \mathbb{N}$
$N~\vdots~170$