Question

Arătați că n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = ( n^2 + 3n + 1)^2 pentru orice n număr natural .

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

$n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=(n^2+3n)^2 + 2(n^2+3n) + 1 = (n^2+3n+1)^2, \forall n\in\mathbb{N}$

Answer 2

Răspuns:

n(n + 1)(n + 2)(n + 3)+1 = (n^2+3n+1)^2

Lucram membrul stang:

n(n + 1)(n + 2)(n + 3)+1

Desfacem parantezele%

(n^2+n)(n+2)(n+3)+1=

(n^3+2n^2+n^2+2n)(n+3)+1=

(n^3+3n^2+2n)(n+3)+1=

n^4+3n^3+3n^3+9n^2+2n^2+6n+1=

n^4+6n^3+11n^2+6n+1 =

Notam expresia cu (A)

Lucram membrul drept:

(n^2+3n+1)^2

Descompunem după formula :

(a+b+c)^2=

a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac

(n^2+3n+1)^2=

(n^2)^2+(3n)^2+1+2×n^2×3n+2×3n+2×n^2=

n^4+9n^2+1+6n^3+6n+2n^2=

n^4+6n^3+11n^2+6n+1=

Notam expresia cu (B)

!!!! Observam ca (A) =(B)

Adevarat

Explicație pas cu pas: