Question

Aratati ca n(n+1)(n+2) se divide cu 6 .

Answer 1

proprietate ; produs de  2 numere naturale consecutive se divide cu  2 
produs de 3 numere naturale consecutive se divide cu 3 
n =1         1 ·2·3 = 6 adevarat 
n =2          2 ·3 ·4 = 24 adevarat 
P ( 1 ) , P ( 2 ) , P (3 ) adevarat 
fie P ( k ) = k( k+ 1 ) ( k +2 ) 
dem daca k ---------> k +1 
P ( k +1 ) adevarat 
P ( k + 1 )  : (  k +1 ) · ( k +2 ) · ( k        + 3 ) =
                              inmultim grupat  
= [ ( k +1 ) · ( k +2 ) · k             +  ( k +1 ) ·( k +2 ) · 3 
 = P (  k )                               + ( k +1 ) · ( k+2 ) ·  3 
         ↓                                                       ↓
 adevarat , este multiplu de 6                        numere consec. · 3 = multiplu de 6  
daca  n --------- > n +1  in ex. dat 
( n +1 )· ( n +1 +1 ) · ( n +1 +2  ) = ( n +1 ) · ( n +2 ) · ( n + 3 ) =     
                                                                               inmultim grupat 
=( n +1 ) · ( n +2 ) · n           +        ( n +1 ) ·( n +2 ) · 3 
           ↓
          adevarat                                   2 numere consecutive · 3 se divide cu 6




=                multiplu de 6        +         multiplu de 6

Answer 2

Intr-un produs de doua numere consecutive rezultatul va fi numar natural par ,deoarece este scris sub forma de produs de factor par ,respectiv impar.
In cazul avem trei termeni consecutivi ,daca grupam in produs doi cate doi ,rezultatul fiecaruia va fi tot numar par.Rezulta faptul ca daca toate vor fi alaturate si considerate drept produs rezultatul va fi multiplu de 2·3=6⇒produsul se divide cu 6;[fiind trei termeni pe langa ca au produs multiplu de 2 ,dar au si produs multiplu de 3 ,de unde rezulta concluzia].