Question

aratati ca nr A=5(la puterea 2)+5(la puterea 4)+5(la puerea 6)+...... +5(la puerea 2000) este divizibil cu 130

Answer 1

130=2×5×13

5 la orice putere Da un nr ce are ultima cifra 5=>

A=uc (5)+uc (5)+....+uc (5)

uc=ultima cifra

fiecare termen e impar si sunt 2000÷2=1000 termeni deci suma totala e para și se termina cu 0 deci nr este divizibil cu 2 și 5

A=5^2 + (5^2)^2 + (5^2)^3 +..+(5^2)^1000

A=25+25^2 +25^3 + ... +25^1000

25=26-1=M (26)-1

25^2=(26-1)^2=M (26)+(-1)^2=M (26) +1

25^3=(26-1)^3=M (26)+(-1)^3=M (26)-1

Și așa mai departe..M (26)=multiplu de 26 și am folosit formula (a+b)^n=M (a)+b^n

A=M(26)-1+M (26)+1+M (26)-1+...+M (26)-1+M (26)+1=M (26)-1+1-1+1...-1+1=M (26)

Cum26=13×2=>A divizibil cu 13 dar este divizibil și cu 2 și 5 deci rezulta ca A este divizibil cu 130 pt ca 130 = 2×5×13