Question

Aratati ca nr $a= \sqrt{19 ^{n} +2014}$ este irational, oricare ar fi n natural. De clasa a VII-a va rog.

Answer 1

Notez cu $U_{x}$ ultima cifra a lui x.

Daca n e par => $U_{ 19^{n} } =9$ => $U_{ 19^{n}+2014 } =3$, deci $19^{n} +2014$ nu este patrat perfect =>a∈R-Q 

Daca n e impar => n=2k+1 cu k∈N.
$19^{n} +2014= 19^{2k+1}+2014= 19^{2k}*19+2014=19( 19^{2k}+ 106)$ 

Deci a=$\sqrt{19( 19^{2k}+106) }$, iar cum este evident ca 19 si $19^{2k} +106$ sunt prime intre ele si 19 nu este patrat perfect => $19^{n} +2014$ nu este patrat perfect => a∈R-Q