Question

Aratati ca nu exista nr intregi a,b astf incat a^2*b^3-3*(a^2)-b^3-2012=0. Eu am incercat cu Pp. R A. ca sunt intregi gen demonst. la radical din 2 ca nu este rational. Insa nu mi a iesit.

Answer 1

Presupunem ca ar exista numere intregi a si b astfel incat (...).
$a^{2} b^{3} - 3a^{2} - b^{3} -2012=0 <=> \\ <=> a^{2}( b^{3} -3)- b^{3} +3-2015=0 <=> \\ <=> a^{2}( b^{3}-3) -( b^{3}-3)=2015 <=> \\ <=> (b^{3}-3)(a^{2}-1)=2015=1*5*13*31$

Acum urmeaza partea urata:
Din ultima relatia vor rezulta niste sisteme de ecuatii (o gramada): 
1. Prima paranteza=1 ... A doua paranteza=2015
2. Prima paranteza=-1 ... A doua paranteza=-2015
3. Prima paranteza =5 ... A doua paranteza=403
.............................................................etc. (fiecare paranteza poate lua una din valorile 1,5,13,31,65,155, 403, 2015 (si respectiv negative).Se studiaza fiecare caz. si se ajunge la concluzia ca ecuatia nu are solutii in Z. (ZxZ, de fapt).

Totusi, din fericire exista o varianta mai rapida: 
$a^{2}-1$ ≥ -1, de unde rezulta $a^{2} -1$∈{-1,5,13,31,65, 155, 403, 2015}. 
Se studiaza fiecare caz, si convine doar a=0...inlocuindu-l in ecuatia initiala, obtinem $b^{3} =-2012$ ,de unde rezulta ca b nu este numar intreg, contradictie...si deci ecuatia nu are solutii in Z. (ZxZ, de fapt)