Question

Arătaţi că nu există progresii aritmetice neconstante de numere naturale cu toţi termenii
pătrate perfecte.

Answer 1

Fier n² si (n+1)² 2 termeni succesivi patrate pefecte

 (n+1)²-n²=2n+1..

deci daca ar fi o progresie aritmetica ratia ar fi 2n+1, care este
functie de n , care deci nu poate fi constanta'
nici multiplii acesteia, k(2n+1) nu pot fi constanti, fiind tot functie de n;
iar 2n+1 si 2n+3 sunt primi intre ei, deci nu exista nici divizori comuni, ca acestia sa fie ratie
anlog  si intre n² si (n+2)² "ratia" ar fi 4n+2, iarasi functie de n
 orice 2 termeni succesivi sunt separati de un numar functie de numarul cel mic si rangul pana la urmatorul deci va fi functie de n, deci nu poate fi constanta
 Presupunem ca termenii patrate perfecte nu sunt succesivi, ci distantati cu k≥1
 atunci
inte n² si (n+k)²  "ratia"  va fi 2nk +k² deci va depinde de primul n si de prima diferenta
va fi o functie de gradul intai in n, care nu va putea avea decat cel mult 2 puncte comune cu o functie de gradul 2, n², deci nu vom putea avea o progresie (numar infinit de termeni) aritmetica cu termeni patrate perfecte