Question

arătați ca numărul 10^n+125 este divizibil cu 9 oricare ar fi n€N*. Mulțumesc anticipat ​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

folosim binomul lui Newton:

$10^n = (9 + 1 )^n = \Big C_n^0*9^n*1^0 + \Big C_n^{1}*9^{n-1}*1^1 + ... + \Big C_n^{n-1}*9^1*1^{n-1} + \Big C_n^{n}*9^{0}*1^n$

observam ca, in afara de ultimul termen , care este 1, toti ceilalti sunt multiplii ai lui 9, deci se poate da factor comun.

Asadar:

$10^n + 125 = \Big C_n^0*9^n + \Big C_n^1*9^{n-1} + ... + \Big C_n^{n-1}*9^1 + 1 + 125 = \\\\= 9*\Big [ \Big C_n^0*9^{n-1} + \Big C_n^1*9^{n-2} + ... + \Big C_n^{n-1}*9^0 \Big] + 126 = \\\\= 9*\Big [ \Big C_n^0*9^{n-1} + \Big C_n^1*9^{n-2} + ... + \Big C_n^{n-1}*9^0 \Big] + 9*14 = \\\\= 9*\Big [ \Big C_n^0*9^{n-1} + \Big C_n^1*9^{n-2} + ... + \Big C_n^{n-1}*9^0 +14 \Big]$

care este multiplu al lui 9

Answer 2

$\it 10^n+125=1\underbrace{000...0}_{n\ zerouri}+125=1\underbrace{000...0}_{n-3\ zerouri}125$

Suma  cifrelor  numărului  dat este 1 + 1 + 2 + 5 = 9,

deci acest  număr  este  divizibil  cu  9.