Question

Aratati ca numarul 2+4+6+8+......+2n nu este patrat perfect

Answer 1

2 ×(1 + 2 + 3 + .......+ n)=
2×n×(n-1):2=n×(n-1)
ca sa fie p.p ar trebui ca n sa fie egal cu n-1 , ceea ce este imposibil

Answer 2

[tex]\it 2 + 4 + 6 + 8+...+2n = 2 (1 + 2 +3 + ... +n ) = 2\cdot \dfrac{n(n+1)}{2}= \\\;\\ \\\;\\ =n(n+1)[/tex]



$\it n\ \textless \ n+1|_{\cdot n} \Leftrightarrow n^2\ \textless \ n(n+1) \ \ \ \ (*) \\\;\\ n\ \textless \ n+1 |_{\cdot{(n+1)}} \Leftrightarrow n(n+1) \ \textless \ (n+1)^2\ \ (**) \\\;\\ \\\;\\ (*),\ (**) \Rightarrow n^2\ \textless \ n(n+1)\ \textless \ (n+1)^2 \Rightarrow n(n+1)\ nu\ e \ p.p.$

Am arătat că n(n+1) se află situat între două pătarte perfecte consecutive,

deci n(n+1) nu este pătrat perfect.

Prin urmare, expresia din enunț nu este pătrat perfect.