Question

Aratati ca numarul 3+3²+3³+.....+3 la puterea 2014 este divizibil cu 4

Answer 1

3+3²+3³+.....+3²⁰¹⁴ = 3(3⁰+3)+3³((3⁰+3)+....+ 3²⁰¹³((3⁰+3)=

=3(1+3)+3³(1+3)+....+ 3²⁰¹³(1+3)=
=3x4+3³x4+....+ 3²⁰¹³x4=4 x (3+3³+...3²°¹³)     deci divizibil cu 4

Answer 2

S=3+3²+3³+...+3²⁰¹⁴/·3
3S=3²+3³+3⁴+...+3²⁰¹⁵
⇒3S-S=[3²+3³+3⁴+...+3²⁰¹⁵]-3-3²-3³-...-3²⁰¹⁴
⇒2S=3²⁰¹⁵-1
⇒S=3²⁰¹⁵-1/2;
⇒3+3²+3³+...+3²⁰¹⁴
⇒[3+3²]+[3³+3⁴]+...+[3²⁰¹³+3²⁰¹⁴]
⇒3+3²=3+9=12⇒daca grupam fiecare termen cate doi ne va iesi la fiecare grupa o suma divizibila cu 12 ,unde 4 divide pe 12;