Question

aratati că numarul A = 1+2^1+2^2+...+2^124 este divizibil cu 5​

Answer 1

Această problemă apare de mai multe ori pe Brainly, dar enunțul este greșit.

Numărul A nu este divizibil cu 5, și nici cu 7 sau cu 15 (celelalte cerințe ale enunțului complet).

Pentru divizibilitatea cu 5, determinăm ultima cifră a numărului. Pentru a fi divizibil cu 5, ultima cifră trebuie să fie 0 sau 5. Dacă este diferită, atunci numărul nu se divide cu 5.

Folosim un artificiu, dublăm numărul A și apoi scădem cele două relații, pentru a obține o formă mai simplă a lui A.

A = 1 + 2¹ + 2² + ...+ 2¹²⁴

2A = 2¹ + 2² + 2³ + ...+ 2¹²⁵

2A - A = 2¹ + 2² + 2³ + ...+ 2¹²⁵ - (1 + 2¹ + 2² + ...+ 2¹²⁴)

Observăm că termenii se reduc, cu excepția lui 2¹²⁵ și a lui - 1

A = 2¹²⁵ - 1

Determinăm ultima cifră a lui A (notăm ultima cifră a unui număr x cu u(x)):

u(2¹) = u(2) = 2

u(2²) = u(4) = 4

u(2³) = u(8) = 8

u(2⁴) = u(16) = 6

u(2⁵) = u(32) = 2

u(2⁶) = u(64) = 4

etc..

u(2¹²⁵) = ?

Vedem că ultima cifră se repetă din 4 în 4 numere. Cele 125 de numere le împărțim în grupe de câte 4 și vedem ce rest obținem:

125 : 4 = 31 rest 1

⇒ 2¹²⁵ se termină cu prima cifră din setul de 4, adică 2

⇒ u(A) = 2 - 1 = 1

⇒ A nu este divizibil cu 5

→  Rezolvarea completă a exercițiului, cu toate subpunctele, o găsești aici:

   https://brainly.ro/tema/8851590