Question

Aratati ca numarul A=1+6+6(la puterea a 2)+....6(la puterea 101) este divizibil cu 7*37*43 va rog din suflet dau coroana daca imi aratati cum se da si dau si 17 puncte
va rog ... multumesc

Answer 1

daca demonstram ca A este divizibilcu 7, cu 37 si cu 43, atunci A este divizibil cu produsul lor deoarece 7; 37; 43 sunt numere prime.

A = 1+6+6²+...................6¹⁰¹=
   = (6⁰ + 6¹) + (6² + 6³) + (6⁴ + 6⁵) + ........+ (6¹⁰⁰ + 6¹⁰¹) =
   = (6⁰ + 6¹) + 6²(6⁰ + 6¹) + 6⁴(6⁰ + 6¹) + ...... + 6¹⁰⁰(6⁰ + 6¹) =
   = (6 + 6¹)(1 + 6² + 6⁴ + ............+ 6¹⁰⁰) = 
   = 7(1 + 6² + 6⁴ + ...........+ 6¹⁰⁰)  
=> este divizibil cu 7.

A   = 7(1 + 6² + 6⁴ + ...........+ 6¹⁰⁰)  =
     = 7[(1 + 6²) + 6⁴(1+6²) + ...........6⁹⁸(1+ 6²) =
     =7(37 + 6⁴*37+  ...........6⁹⁸*37 )=
     =7*37(1 + 6⁴+  ...........6⁹⁸ )

=> este divizibil cu 37.

A = (6⁰ + 6¹ + 6²) + (6³ + 6⁴ + 6⁵) + (6⁶ + 6⁷ + 6⁸) + ......+ (6⁹⁹ + 6¹⁰⁰ + 6¹⁰¹) = 
   = (6⁰ + 6¹ + 6²) + 6³(6⁰ + 6¹ + 6²) + 6⁶(6⁰ + 6¹ + 6²)+ .......+ 6⁹⁹(6⁰ + 6¹ + 6²)=
   = (6⁰ + 6¹ + 6²)(1 + 6³ + 6⁶ + ........... + 6⁹⁹) =
   = (1 + 6 + 36)(1 + 6³ + 6⁶ + ........... + 6⁹⁹) =
   = 43(1 + 6³ + 6⁶ + ........... + 6⁹⁹)
=> este divizibil cu 43.
deci A divizibil cu 7*37*43