Question

Aratati ca numarul A=1+6+6²+...+6¹⁰¹ este divizibil cu 7×37×43.​

Answer 1

Răspuns:

A este divizibil cu 7×37×43

Explicație pas cu pas:

▪︎ observăm că:

1 + 6 = 7

suma are 102 de termeni, pe care îi putem grupa câte 2:

$A = (1 + 6) + ({6}^{2} + {6}^{3}) + ... + ({6}^{98} + {6}^{99}) + ({6}^{100} + {6}^{101}) = (1 + 6) + {6}^{2}(1 + 6) + ... + {6}^{98}(1 + 6) + {6}^{100}(1 + 6) = 7 \cdot (1 + {6}^{2} + ... + {6}^{98} + {6}^{100}) \red { \bf \ \vdots \ 7}$

=> numărul A este divizibil cu 7

▪︎ observăm că:

1 + 6² = 37

suma are 102 de termeni, pe care îi putem grupa câte 2:

$A = (1 + {6}^{2} ) + ({6}^{1} + {6}^{3}) + ... + ({6}^{98} + {6}^{100}) + ({6}^{99} + {6}^{101}) = (1 + {6}^{2} ) + {6}^{1}(1 + {6}^{2} ) + ... + {6}^{98}(1 + {6}^{2} ) + {6}^{99}(1 + {6}^{2} ) = (1 + {6}^{2}) \cdot (1 + {6}^{4} + ... + {6}^{98} + {6}^{99} ) = 37 \cdot (1 + {6}^{4} + ... + {6}^{98} + {6}^{99} )\red { \bf \ \vdots \ 37}$

▪︎ observăm că:

1 + 6 + 6² = 43

suma are 102 de termeni, pe care îi putem grupa câte 3:

$A = (1 + 6 + {6}^{2}) + ({6}^{3} + {6}^{4} + {6}^{5}) + ... + ({6}^{99} + {6}^{100} + {6}^{101}) = (1 + 6 + {6}^{2}) + {6}^{3}(1 + 6 + {6}^{2}) + ... + {6}^{99}(1 + 6 + {6}^{2}) = (1 + 6 + {6}^{2})(1 + {6}^{3} + ... + {6}^{99}) = 43 \cdot (1 + {6}^{3} + ... + {6}^{99}) \red { \bf \ \vdots \ 43}$

$\implies \red { \bf A\ \vdots \ 7 \cdot 37 \cdot 43}$

q.e.d.