Question

Aratati ca numarul a=2²ⁿ⁺³ × 3²ⁿ⁺² + 3²ⁿ⁺³ ×5²ⁿ nu e patrat perfect oricare ar fii n

Answer 1

Dacă nu era acel 5²ⁿ ar fi fost mult mai greu, deoarece numărul 'a' s-ar fi terminat în cifrele în care se termină și pătratele perfecte, dar așa avem:

$a = 2^{2n+3}\cdot3^{2n+2}+3^{2n+3}\cdot5^{2n}\\ \\ U(a) = U\Big[(2^{2})^{n+1}\cdot 2\cdot (3^{2})^{n+1}+5\Big]\\ \\ U(a) = U\Big(4^{n+1}\cdot 2\cdot 9^{n+1}+5\Big) \\ \\ U(a) = U\Big[(4\cdot 9)^{n+1}\cdot 2+5\Big] \\ \\ U(a) = \Big(36^{n+1}\cdot 2+5\Big) \\ \\ U(a) = U(6\cdot 2+5)\\ \\ U(a) = U(17) \\ \\ U(a) = 7$

Niciun pătrat perfect nu se termină în cifra 7.

⇒ a nu este pătrat perfect.