Question

Aratati ca numarul B=5 la puterea 2013-3 la puterea 2013 este divizibil cu 2

Aratati ca numarul C= 6 la puterea 2013 -3 laputerea 2012 este divizibil cu 5

Answer 1

Fie U(x) ultima cifra a numarului natural x
atunci

U (5^2013)=5
U(3^2013)=3 ***
U(B) =5-3=2, deci numarul B este divizibil cu 2

U(6^2013)=6
U(3^2012)=1 ***
U(c) =6-1=5, deci numarul C e divizibil cu 5
 as simple as that!


*** U (3^n) =3 pt n=4k+1
=9 pt n=4k+2
=7 pt n=4k+3
=1, pt n=4k

u(5^n) =5
U(6^n)=6, ∀n∈N*

Answer 2

B = 5²⁰¹³ - 3²⁰¹³ 
Calculam ultima cifra (Uc) la fiecare putere
Ultima cifra a numarului 5²⁰¹³ = 5
Ultima cifra a nr 3²⁰¹³ = U  3²⁰¹² × 3  =  U (3⁴)⁵⁰³× 3 = U 81⁵⁰³×3 = 1× 3 = 3
Ultima cifra  a nr B = 5 - 3 = 2
Criteriul de divizibilitate cu 2:
Sunt divizibile cu 2 numai numerele care au ultima cifra para deci  numarul este divizibil cu 2


C= 6²⁰¹³ - 3²⁰¹²
procedam identic

Ultima cifra a numarului 6²⁰¹³ = 6
Ultima cifra a numarului 3²⁰¹² = U (3⁴)⁵⁰³ = Uc 81⁵⁰³ = 1
Ultima cifra a numarului C = 6 - 1 = 5

Criteriul de divizibilitate cu 5
Daca ultima cifra a unui numar natural 0 sau 5, atunci numarul se divide cu 5!!!

⇒ numarul este divizibil cu 5