Question

Arătaţi că numărul

C=1+2^{1}+ 2^{2}+...+ 2^{71} [/tex]    este divizibil cu 5. ex.2 ... Arătaţi că ultima cifră a produsului x(x+1) poate fi doar 0,2 sau 6, pentru orice număr natural x.

Answer 1

C=1+2¹+ 2²+...+ 2⁷¹=
=(1+2²)+(2+2³)+(2⁴+2⁶)+(2⁵+2⁷)+...+(2⁶⁸+2⁷⁰)+(2⁶⁹+2⁷¹)=
=1+2²+2(1+2²)+2⁴(1+2²)+2⁵(1+2²)+...+2⁶⁸(1+2²)+2⁶⁹(1+2²)=
=5+2*5+2⁴*5+2⁵*5+...+2⁶⁸*5+2⁶⁹*5=
=5*(1+2+2⁴+2⁵+2⁸+...+2⁶⁸+2⁶⁹) -este divizibil cu 5



Arătaţi că ultima cifră a produsului x(x+1) poate fi doar 0,2 sau 6, pentru orice număr natural x.
x(x+1) este produsul a 2 numere consecutive;
0*1=0
1*2=2
2*3=6
3*4=12
4*5=20
5*6=30
6*7=42
7*8=56
8*9=72
=> produsul a oricaror 2 numere consecutive va avea ultima cifra0,2 sau 6