Question

Arătați că numărul n = $2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + ... + 2^{2015} + 2^{2016}$ este divizibil cu 31

Answer 1

suma de 2015 termeni  
grupati cate 5     ⇒ 2015 :5 = 403  grupe 
2² + 2³+2⁴+2⁵ +2⁶ = 4+8+16+32+64 = 124 = 4· 31 = multiplu de 31 
2⁷ +2⁸+2⁹+2¹⁰+2¹¹ = 2⁵· ( 2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶ )  = 2⁵ ·4· 31 = multiplu de 31 
.............................
2²⁰¹²+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶ = 2²⁰¹⁰· ( 2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶ ) = 2²⁰¹⁰ ·4·31 = multiplu de 31
ex = M₃₁ + M₃₁ + M ₃₁+ .............+ M₃₁ = M₃₁  se divide cu 31