Question

Aratati ca numarul radical din 1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 este irational​

Answer 1

Ca sa aratam ca radical din numarul respectiv e irational, trebuie sa aratam ca numarul nu este patrat perfect:

$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot10=2\cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5\cdot 2\cdot 3 \cdot 7\cdot 2^3\cdot 3^2\cdot 2\cdot 5=\\ \\=2^8\cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7=(2^4\cdot 3^2\cdot 5)^2\cdot 7 \Rightarrow \sqrt{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot10}=2^4\cdot 3^2\cdot 5\sqrt{7} \ deci \ este \ irational$

Answer 2

Ştim că orice pătrat perfect, mai mare ca 1, este produs de puteri de numere prime cu exponent par.

Produsul  1•2•3•4•5•6•7•8•9•10  nu este pătrat perfect deoarece  conţine un factor prim (7) dar nu conţine si  pătratul lui.

=> √(1•2•3•4•5•6•7•8•9•10)  este irational