Question

Se considera functia f:(0$\frac{pi}{2}$)->R, $f(x)=arctg\sqrt{\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)} }$)

Sa se calculeze f'(x) pentru x ∈ (0$\frac{pi}{2}$)

Answer 1

$f(x) = \arctan\sqrt{\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}} =\arctan \sqrt{\dfrac{(1-\cos x)^2}{1-\cos^2 x}} = \\ \\ = \arctan \sqrt{\dfrac{(1-\cos x)^2}{\sin^2 x}} = \arctan \Big(\dfrac{1-\cos x}{\sin x}\Big) \\ \\ \\f'(x) = \dfrac{\Big(\dfrac{1-\cos x}{\sin x}\Big)'}{1+\Big(\dfrac{1-\cos x}{\sin x}\Big)^2} = \dfrac{\dfrac{\sin^2 x -\cos x(1-\cos x)}{\sin^2 x}}{1+\Big(\dfrac{1-\cos x}{\sin x}\Big)^2} = \\ \\ \\= \dfrac{1-\cos x}{\sin^2 x+(1-\cos x)^2} = \dfrac{1-\cos x}{\sin^2 x + 1 +\cos^2 x-2\cos x} = \\\\ \\ = \dfrac{1-\cos x}{2(1-\cos x)} = \boxed{\dfrac{1}{2}}$

Answer 2

Răspuns:

vezi imaginea 2 cu varianta optimă de rezolvare

Explicație pas cu pas:

am vrut să mai simplific ceva dar mi s-a blocat redactorul şi am lăsat aşa....