Question

Arătați că numărul z=(- radical din 3+2i)^n+(- radical din 3 -2i)^n este real pentru orice valoarea naturală a lui n

Answer 1

Un număr complex este real dacă este egal cu valoarea conjugatului său.

$z = (-\sqrt{3}+2i)^n + (-\sqrt{3}-2i)^n$

$\begin{aligned}\overline{z} &= \overline{(-\sqrt{3}+2i)^n + (-\sqrt{3}-2i)^n}\\ &= \overline{(-\sqrt{3}+2i)^n} + \overline{(-\sqrt{3}-2i)^n} \\ &= (\overline{-\sqrt{3}+2i})^n + (\overline{-\sqrt{3}-2i})^n \\ &= (-\sqrt{3}-2i)^n + (-\sqrt{3}+2i)^n \\ &= (-\sqrt{3}+2i)^n+(-\sqrt{3}-2i)^n = z\end{aligned}$

⇒ z este număr real.