Question

Aratati ca numerele de forma a=3n+5 si b=2n+3 sunt prime intre ele, unde n este nr natural.

Answer 1

fie :d-divizor comun, d≠1

d|3n+5=> d| 3(3n+5)=>d|9n+15

d|2n+3 => d| 5(2n+3)=>d|10n+15

=> d | (10n+15)-(9n+15) => d | 1, dar: d≠ 1 => a și b sunt prime între ele

Answer 2

Presupunem la absurd că numerele nu sunt prime intre ele.

⇒ Există un divizor comun d ≠ 1:

d⏐(3n+5) ⇒ d⏐2·(3n+5) ⇒ d⏐(6n+10)  (1)

d⏐(2n+3) ⇒ d⏐3·(2n+3) ⇒ d⏐(6n+9)   (2)

Din (1) și (2) ⇒ d⏐[ (6n+10) - (6n+9) ] ⇒ d⏐1 ⇒ d = 1 (Fals)

⇒ Numerele de forma 3n+5 și 2n+3 sunt prime intre ele ∀n ∈ ℕ