Question

. Arătaţi că numerele de mai jos nu pot fi pătrate perfecte: a)x=2+2² +2³+2⁴+...+2²⁰⁰¹ b)x= 3+3² +3³ +3⁴ + ... + 3²⁰⁰¹​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

x = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰⁰¹

Soluție:

Grupăm termenii din sumă câte patru și obținem:

x = (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸) + ... + (2¹⁹⁹⁷ + 2¹⁹⁹⁸ + 2¹⁹⁹⁹ + 2²⁰⁰⁰) + 2²⁰⁰¹

Cum ultima cifră a puterilor lui 2 se repetă din 4 în 4, ultima cifră a sumei din fiecare paranteză este egală cu u(2¹ + 2² + 2³ + 2⁴) = 0

Fiind 500 grupe, rezultă u(x) = u(500•0+2²⁰⁰¹) = u(2²⁰⁰¹) = u(2²⁰⁰⁰•2) = u(2) = 2

=> ultima cifră a numărului x este 2, deci nu poate fi pătrat perfect

b)

x = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3²⁰⁰¹

Soluție:

Grupăm termenii din sumă câte patru și obținem:

x = (3¹ + 3² + 3³ + 3⁴) + (3⁵ + 3⁶ + 3⁷ + 3⁸) + ... + (3¹⁹⁹⁷ + 3¹⁹⁹⁸ + 3¹⁹⁹⁹ + 3²⁰⁰⁰) + 3²⁰⁰¹

Cum ultima cifră a puterilor lui 3 se repetă din 4 în 4, ultima cifră a sumei din fiecare paranteză este egală cu u(3¹ + 3² + 3³ + 3⁴) = u(120) = 0

Fiind 500 grupe, rezultă u(x) = u(500•0 + 3²⁰⁰¹) = u(3²⁰⁰¹) = u(3²⁰⁰⁰•3) = u(3) = 3

=> ultima cifră a numărului x este 3, deci nu poate fi pătrat perfect

q.e.d.