Question

Aratati ca oricare ar fi a, b, c, d∈Z, numarul:
x=abcd*(a²-b²)(a²-c²)(a²-d²)(b²-c²)(b²-d²)(c²-d²) este multiplu de 7

Answer 1

x=abcd*(a²-b²)(a²-c²)(a²-d²)(b²-c²)(b²-d²)(c²-d²)
x=abcd(a-b)(a+b)(a-c)(a+c)(a-d)(a+d)(b-c)(b+c)(b-d)(b+d)(c-d)(c+d)

Din punct de vedere al impartirii cu 7, numerele intregi pot fi de forma:
M7, M7+1, M7+2, M7+3, M7+4, M7+5, M7+6  (adica 7 variante).
Daca cel putin unul dintre numere este M7 (adica multiplu de 7), atunci problema este rezolvata, intrucat produsul nostru, din x, contine un factor divizibil cu 7, deci produsul este divizibil cu 7.

Presupunem ca toate cele patru numere sunt de una din celelalte 6 forme. Observam ca:
M7+4=M7+4-7=M7-3
M7+5=M7+5-7=M7-2
M7+6=M7+6-7=M7-1

Deci, cele 6 variante ramase, se pot scrie ca trei grupe:
M7 plus sau minus 1, M7 plus sau minus 2, M7 plus sau minus 3

Incercam sa folosim Principiul Cutiei: avem 3 grupe si 4 numere, deci cel putin doua numere sunt din aceeasi grupa, adica: daca trei dintre numerele a,b,c,d sunt de una dintre formele cu "plus", folosind Principiul Cutiei, rezulta ca cel de-al patrulea numar este de una din formele cu "minus" corespunzatoare unuia dintre celelalte trei numere.

Sa zicem ca b=M7+2 si d=M7-2 si atunci avem:
b+d=M7+2+M7-2=M7, deci unul din factori este M7, prin urmare produsul x este M7.

sau daca b=M7+2 si d=M7+2 si atunci avem:
b-d=M7+2-M7-2=M7, deci unul din factori este M7, prin urmare produsul x este M7.