Question

aratati ca oricare ar fi m apartine lui R si a,b,c lungimile laturilor unui triunghi oarecare atunci are loc relatia a*m*(m-2)+b+c>0

Answer 1

Lasi b+c in stanga si primul termen il muti in dreapta cu semn schimbat
b+c>-am(m-2)
Voi baga minusul in paranteza
b+c>am(2-m)
Impartim cu a
(b+c)/a > m(2-m)
In orice triunghi, suma a a doua laturi este mai mare decat a treia latura, deci fractia (b+c)/a este supraunitara pentru ca b+c>a
(b+c)/a>1
Noi vrem sa demonstram ca (b+c)/a >m(2-m) si stim ca (b+c)/a>1, pai atunci ne ramane sa demonstram ca m(2-m) ≤ 1
Expresia din stanga este
-m²+2m
Inegalitatea devine
-m²+2m-1<0
Fiind o expresie de grad 2 cu coeficientul lui m² negativ, inseamna ca parabola are ramurile in jos si varful ei este maximul expresiei.
Maximul espresiei (din teoria de la functia de grad 2) este
-Δ/4α (α= coeficientul lui m², in cazul nostru este -1)
Δ=2²-4=0
Deci varful parabolei are ordonata 0, ceea ce inseamna ca expresia nu poate depasi valoarea 0, deci evident nu va ajunge nici la 1.
Cum nu poate ajunge pana la 1, si expresia din stanga era mai mare strict decat 1, am demonstrat ce era de demonstrat.