Question

Aratati ca orice primitiva a functiei f este crescatoare pe R
f:R->R , f(x)= (e^x)+(x^2)+3

Cat mai explicit va rog !​

Answer 1

$\text{Fie }F(x) \text{ familia de primitive a lui } f(x)\\ \\ F(x)\text{ este strict crescatoare pe }\mathbb{R} \text{ daca }F'(x) = f(x) >0,\quad \forall x\in \mathbb{R} \\ \\ f(x) = e^x+x^2+3 \\ \\ e^x > 0,\quad \forall x\in \mathbb{R} \\ x^2 \geq 0,\quad \forall x\in \mathbb{R} \\ 3 > 0 \\ \\ \Rightarrow e^x+x^2+3 > 0 \Leftrightarrow F'(x) > 0,\quad \forall x\in \mathbb{R} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow F(x) \text{ strict crescatoare pe }\mathbb{R}$