Question

Aratati ca pentru orice numar natural n, numarul $\sqrt{4^n + 2^n}$ este irational.

Answer 1

Răspuns:

    $\sqrt{4^n+2^n}=\\\\\sqrt{(2^2)^n+2^n}=\\\\\sqrt{2^{2n}+2^n}=\sqrt{2^n(2^n+1)}\\\text{De aici ne putem da seama ca oricare ar fi n}\in\mathbb{N}\text{, numarul este irational}\\\\\text{De ce?}\\\\\text{Deoarece, daca era}~\sqrt{2^n(2^n)}\text{ ar fi fost }\sqrt{(2^n)^2}\text{ = } 2^n.\\\\\text{Dar adaugand +1 nu mai putem scrie numarul astfel incat radicalul sa }\\\text{fie simplificat cu puterea 2}\\\\\implies \forall \text{ n}\in\mathbb{N}~\sqrt{4^n+2^n}\in\mathbb{R-Q}$