Question

Arătați că primele 2013 zecimale ale numărului √0,44444......4 (cifra 4 apare de 2013 ori) sunt egale cu 6.

Answer 1

Imi cer scuze pentru ca am dat o solutie gresita initial, insa moderatorul Albastruverde mi-a atras atentia si am revizuit rezolvarea.
Vom arata ca 
[tex]0.\underbrace{666...6}\ \textless \ \sqrt{0.\underbrace{444...4}}\\ ~~2013\ cifre~~~~~~2013\ cifre ~~\Leftrightarrow\\ {0.\underbrace{666...6}}^2\ \textless \ 0.\underbrace{444...4}\\ ~~2013\ cifre~~~~~~2013\ cifre ~~ \Leftrightarrow\\ (\frac{6}{10}+\frac{6}{10^{2}}+\frac{6}{10^{3}}+...+\frac{6}{10^{2013}})^2\ \textless \ \frac{444...4}{1000...0}\Leftrightarrow\\ \text{Termenii din prima paranteza sunt in progresie cu primul termen 6/10 }\\ \text{si ratia 1/10. Aplicam formula pentru suma primilor 2013 termeni} [/tex]
[tex] (\frac{6}{10}\frac{1-\frac{1}{10^{2013}}}{1-\frac{1}{10}})^2=(\frac{6}{10}\frac{10}{9})^2(1-\frac{1}{10^{2013}})^2=\\ \\ (\frac{2}{3})^2(1-2\frac{1}{10^{2013}}+\frac{1}{10^{4026}})\ \textless \ \frac{4}{9}(1-\frac{1}{10^{2013}}})=\\ \\ \frac{4}{9}\frac{10^{2013}-1}{10^{2013}}=\frac{4}{9}\frac{999....9}{1000...0}=\frac{4}{1}\frac{111...1}{1000...0}=\\ \\ \frac{444...4}{1000....0}=0.444...4\ (\text{de 2013 ori 4})[/tex]

Cu aceasta prima parte a demonstratiei este incheiata. A doua parte se poate face tot cu progresii geometrice aratand ca 
0.444...4<0.666...6² (punem 2013 de 4 in stanga si 2014 de 6 in dreapta), 

insa mult mai indicat este sa demonstram asa cum a facut Albastruverde:
$\sqrt{0.444...4}\ \textless \ \sqrt{0.(4)}=\sqrt\frac{4}{9}=\frac{2}{3}=0.(6)$