Question

Arătați ca radical din 2 + radical din 3 aparține mulțimii R \Q

Answer 1

Răspuns

PRESUPUN CA √3 este rational⇒√3=a\b ireductibila                ridicam la patrat m 3=a²\b²;3b²=a²

Explicație pas cu pas:

⇒a² este multiplu de3 se simplifica cu 3   presupunere falsa  a²\b² se simplifica  ⇒⇒√3 irational

Answer 2

Salut, raspunsul lui Stefan e destul de bun, dar nu e redactat cum trebuie.

Mai intai hai sa demonstram ca √2 este numar irational ( pentru √3 se procedeaza analog).

Presupunem prin reducere la absurd ca √2 este numar rational. Atunci  exista m,n ∈ N*,cu conditia ca (m,n)=1 astfel incat √2 = m/n . De aici obtinem mai departe ca  n√2=m  si prin ridicare la patrat ca 2n²=m² . Observam ca membrul stang este un multiplu de 2,ceea ce impune faptul ca si membrul drept trebuie sa fie.Asadar exista un numar natural k, astfel incat m=2k .

Prin urmare 2n²=(2k)² ⇒  2n²=4k² ⇒ n² = 2k² . Procedand analog, rezulta ca n e de forma 2p, unde p este numar natural. Deoarece n=2p si m=2k , ajungem la concluzia ca (n,m)=2, in contradictie cu (n,m)=1. Prin urmare presupunerea facuta este falsa, deci √2 este numar irational. Analog se procedeaza si pentru √3 .Evident, suma celor doua numere este tot un numar irational.