Question

aratati ca sin(a+b)=63/65, stiind ca a,b apartin ( 0, pi/2), sin a = 3/5 si sin b= 12/13

Answer 1

Cunoaștem:

a, b ∈ $(0, \frac{\pi}{2} )$ → Aparțin cadranului I (sin și cos sunt pozitive)

sin a = $\frac{3}{5}$

sin b = $\frac{12}{13}$

============================

Aplicând formula fundamentală a trigonometriei, aflăm cosinusul lui a și b.

$sin^2 a+ cos^2 a = 1\\ cos^2 a= 1 - sin^2 a \\cos^2 a = 1 - (\frac{3}{5})^2 \\cos^2 a = 1 - \frac{9}{25} \\cos^2 a = \frac{25-9}{25} \\cos^2 a = \frac{16}{25} \\cos\ a = \frac{4}{5}$

$sin^2b + cos^2 b = 1\\cos^2 b = 1 - sin^2 b\\cos^2 b = 1 - (\frac{12}{13})^2\\cos^2 b = 1 - \frac{144}{169} \\cos^2 b = \frac{169-144}{169} \\cos^2 b = \frac{25}{169} \\cos\ b = \frac{5}{13}$

Acum că știm toate valorile pentru sin a, sin b, cos a, cos b, putem demonstra suma.

Utilizăm formula: $\boxed {sin (a+b) = sin \ a \times cos \ b + sin \ b \times cos \ a}$

$\frac{3}{5} \times \frac{5}{13} + \frac{12}{13} \times \frac{4}{5} = \frac{63}{65}$    

$\frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{63}{65} \\\\ \frac{63}{65} = \frac{63}{65} (A)$