Question

Aratati ca
$1+ \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \ \textless \ \frac{5n-2}{2n}$
pentru orice n ≥ 1

Answer 1

1+1 supra 2!+1 supra 3!+1 supra 4!<5n-2 supra 2n
mai întâi aflăm cât ne da rezultatul la prima operație:
1+1 supra 2!+1 supra 3!+1 supra 4!=
1 supra 2!(2 factorial)=1 supra 2•1=2
1 supra 2 factorial=1 supra 2
1 supra 3 factorial=1 supra 3•2•1=6=1 supra 6
1 supra 4 factorial=1 supra 4•3•2•1=24=1 supra 24
1 supra 2=0,5
1 supra 6=0,16
1 supra 24=0,04
deci 1+0,5+0,16+0,04=1,7
1,7<5n-2 supra 2n
acum totul este ușor deoarece putem pune că n e 1(de exemplu)
1,7<5•1 supra 2•1
1,7<5 supra 2
1,7<2,5
Răspuns: adevărat

Answer 2

Fie s suma din membrul stâng al relației din enunț.

$\it \dfrac{1}{n!} = \dfrac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot\ ...\ \cdot(n-1)\cdot n} \ \textless \ \dfrac{1}{(n-1)\cdot n} =\dfrac{1}{n-1} -\dfrac{1}{n}$

Cu rezultatul de mai sus, suma s devine:

[tex]\it s \ \textless \ 1+\dfrac{1}{1} -\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{3} +\dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{4} +\ ...\ + \dfrac{1}{n-1} -\dfrac{1}{n} \Longrightarrow \\\;\\ \\\;\\ \Longrightarrow s \ \textless \ 1+1-\dfrac{1}{n} \Longrightarrow s \ \textless \ 2- \dfrac{1}{n} \Longrightarrow s \ \textless \ \dfrac{^{2)}2n-1}{n} \Longrightarrow s \ \textless \ \dfrac{4n-2}{2n} \\\;\\ \\\;\\ \Longrightarrow s \ \textless \ \dfrac{4n-2}{2n} + \dfrac{^{n)}1}{2} \Longrightarrow s \ \textless \ \dfrac{5n -2}{2n} [/tex]