Question

aratati ca
$\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{2 \times 3} + ... + \frac{1}{9 \times 10} apartine \: ( \frac{1}{5} \frac{3}{5)}$
dau coroana
​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

1/2*3+1/3*4+1/4*5+...+1/9*10

Avem de a face cu o suma "telescopica" adica vom ramane numai cu primul si ultimul termen al sumei

Putem observa ca fiecare termen are forma:

1/n(n+1)=(n+1-n)/n(n+1)=(n+1)/n(n+1)-n/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (am scris numaratorul ca diferenta dintre factorii numitorului)

S=1/2*3+1/3*4+...+1/9*10=>

S=1/2-1/3+1/3-1/4+....+1/9-1/10

=>S=1/2-1/10 (ceilalti termenii se anuleaza) =>

S=5/10-1/10=>S=4/10=>S=2/5

S€(1/5,3/5)<=>1/5<S<3/5=>1/5<2/5<3/5 Care este adevarat pt ca 1<2<3 => S€(1/5,3/5)