Question

Aratati ca un numar natural este divizibil cu :
a) 4,daca numarul format din ultimele sale doua cifre este divizibil cu 4;
b) 8, daca numarul format din ultimele sale trei cifre este divizibil cu 8.

Answer 1

a) 1) Daca numarul are doua cifre , deci este de forma bc (barat) , atunci bc (barat) este divizibil cu 4 daca bc (barat) ∈ {00;04;08;12;16;20;24;28;32;36;40;44;48;52;56;60;64;68;72;76;80;84;88;92;96}
    2) Daca numarul are trei cifre , deci este de forma abc (barat) , atunci folosind scrierea in baza 10 , unde abc (barat)=100a+10b+c iar bc (barat)=10b+c ⇒abc (barat) =100a+bc (barat) .Deoarece 100a este divizibil cu 4 (contine factorul 100 divizibil cu 4) iar bc (barat) este divizibil cu 4 numai in situatiile de la 1) ⇒ abc (barat) este divizibil cu 4 daca bc (barat) este divizibil cu 4.
    3) Daca numarul are 4 ,sau 5 ,sau 6 ,sau oricate cifre , se deduce asemanator ca la 2)

b) 1) Daca numarul are 3 cifre , deci este de forma bcd (barat) , atunci bcd (barat) este divizibil cu 8 daca bcd (barat) ∈ {008;016;024;032;040;048;056;064;072;080;088;096}
    2) Daca numarul are 4 cifre , deci este de forma abcd (barat) , atunci folosind scrierea in baza 10 , unde abcd (barat)=1000a+100b+10c+d iar bcd (barat)  =100b+10c+d ⇒abcd (barat)=1000a+bcd (barat). Deoarece 1000a esre divizibil cu 8 (contine factorul 1000 divizibil cu 8) iar bcd (barat) este divizibil cu 8 numai in situatiile de la 1) ⇒ abcd (barat) este divizibil cu 8 daca bcd (barat) este divizibil cu 8.
   3) Daca numarul are 5 ,sau 6 ,sau7 ,sau oricate cifre , se deduce asemanator ca la 2).