Question

Aratati ca, unghiurile A si B ale triunghiului ABC verifica relatia cos A-cos B -cos(A+B)=3/2, atunci triunghiul este echilateral.

Answer 1

Da, deci o sa-l rezolv presupunand ca forma cerintei este
$\cos{A}+\cos{B}-\cos{(A+B)}=\frac{3}{2}$
Stim ca suma unghiurilor din triunghi este de 180 grade, adica pi
$A+B+C=\pi\Rightarrow C=\pi-(A+B)$
Stim ca in general
$\cos{(\pi-x)}=-\cos{x}$
Atunci in cazul nostru
$\cos{C}=\cos{(\pi-(A+B))}=-\cos{(A+B)}$
Atunci ecuatia devine
$\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=\frac{3}{2}$
Mai stim ca
$\cos{A}+\cos{B}=2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}$
$\cos{C}=1-2\sin^{2}{\frac{C}{2}}$
Atunci ecuatia devine
$2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+<span>1-2\sin^{2}{\frac{C}{2}}=\frac{3}{2}\Rightarrow 4\cos{\frac{\pi-C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+2(1-2\sin^{2}{\frac{C}{2}})=3</span>$
Mai stim ca
$\cos{\frac{\pi}{2}-x}=\sin{x}$
Deci in cazul nostru
$\cos{\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}}=\sin{\frac{C}{2}}$
Atunci ecuatia devine
$4\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+2-4\sin^{2}{\frac{C}{2}}-3=0\Rightarrow 4\sin^{2}{\frac{C}{2}}-4\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}+1=0$
Aceasta este o ecuatie de gradul 2 in sinC/2 deci putem nota cu o variabila si sa rescriem ecuatia
$\sin{\frac{C}{2}}=x$
Si ecuatia devine
$4x^{2}-4x\cos{\frac{A-B}{2}}+1=0$
Stim ca x va avea numai solutii reale, deci discriminantul ecuatiei trebuie sa aiba mai mult decat 0
$\delta=16\cos^{2}{\frac{A-B}{2}}-16\geq0\Rightarrow 16\cos^{2}{\frac{A-B}{2}}\geq16\Rightarrow \cos^{2}{\frac{A-B}{2}}\geq1$
dupa cum stii, cosinusul poate lua valori maxim de 1, si conditia de mai sus este minimum 1, deci singura solutie a inecuatiei este:
$\cos{\frac{A-B}{2}}=1\Rightarrow \frac{A-B}{2}=0\Rightarrow A=B$
In mod similar, se poate demonstra ca B=C. Si atunci A=B=C. adica triunghiul este echilateral.