Question

Arătați că x ete un nr natural pătrat perfect :
A) x=(1+2+3+....+98) +49
b) x=1+3+5+....+225
c). x=1+3+5+....+2015
d) x=2+4+6+...2016+1009

Answer 1

a)
x=(1+2+3+....+98) +49 =(aplicam 1+2+...+n=n(n+1)/2  )=
=98*99/2 +49=49*99+49=49*(99+1)=49*100=(7^2)*(10^2)=(7x10)^2=70^2

b)
x=1+3+5+....+225=(aplicam 1+3+5+...+2k-1=k^2)=
(2k-1=225, 2k=226, k=113)
=113^2

c)
x=1+3+5+....+2015=(2k-1=2015, 2k=2016, k=1008)=
1008^2

d)
x=2+4+6+...2016+1009 =2*(1+2+...+1008)+1009=
=2[(1008*1009)/2]+1009=1008*1009+1009=1009*(1008+1)=1009^2