Question

Aratati graficul funcției f(x)= -2x^3+3x^2(reprezentati graficul)​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$f(x) = - 2 {x}^{3} + 3 {x}^{2} = {x}^{2}(3 - 2x)$

intersecția cu axa Ox:

$y = 0 = > f(x) = 0 = > {x}^{2}(3 - 2x) = 0 \\ x = 0 = > \left( 0;0\right)\\ x = \frac{3}{2} = > \left( \frac{3}{2} ;0\right)$

intersecția cu axa Oy:

$x = 0 = > f(0) = 0 = > \left(0 ;0\right)$

prima derivată:

$f'(x) = (- 2 {x}^{3} + 3 {x}^{2})' = - 6 {x}^{2} + 6x = 6x(1 - x)$

punctele critice:

$f'(x) = 0 => 6x(1 - x) = 0 \\ x = 0 \\ x = 1$

punct de minim:

$f(0) = 0 = > \left(0 ;0\right)$

punct de maxim:

$f(1) = - 2 + 3 = 1 = > \left(1 ;1\right)$

monotonia:

f(x) este descrescătoare pentru x ∈ (-∞; 0)

f(x) este crescătoare pentru x ∈ (0; 1)

f(x) este descrescătoare pentru x ∈ (1; +∞)

a doua derivată:

$f''(x) = (- 6 {x}^{2} + 6x)' = - 12x + 6 = 6(1 - 2x)$

→

$f''(x) = 0 = > 6(1 - 2x) = 0 = > x = \frac{1}{2}$

punct de inflexiune:

$f\left(\frac{1}{2}\right) = {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}\left(3 - 2 \times \frac{1}{2}\right) \\ = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2} = > \left( \frac{1}{2} ; \frac{1}{2} \right)$

→

$f(x) \: convexa: \: - \infty < x < \frac{1}{2} \\ f(x) \: concava: \: \frac{1}{2} < x < + \infty$