Question

As dori rezolvarea problemei 45 , am uitat cum se fac exercitiile de acest tip , Multumesc!

Answer 1

n ≥ 1 
ex. este o suma de n termeni 
fie suma de  1  termen    x₁ = ( 1 +1) ! - 1 =2! -1  = 1· 2 -1 = 1· ( 2 -1 ) =1!·1
suma de 2 termeni   x₁ +x₂ = ( 2+1)! -1 =3! -1 = 6 -1 = 5 
x₂ = 5 -1 = 4 = 3! - 2! = 2! ( 3 -1 ) = 2! ·2
suma de 3 termeni x₁ +x₂ +x₃ = ( 3 +1) ! - 1 = 4! - 1 
                        x₃ = 4! - 1  - (x₁ +x₂) = 4! - 1 - 5 = 4! - 6 = 4! - 3! 
                       x ₃ = 3! ( 4 - 1)  = 3! ·3 
                        x ₄ =4!· 4 
.......
xn = n !· n  , termeni numere naturale
( fiecare  termen , prin formula sirului se scrie in functie de locul in sir) 

Answer 2

[tex] x_1+2x_2+...+nx_n+(n+1)x_{n+1}=(n+2)!-1\\ \text{Dar}\\ x_1+2x_2+...+nx_n=(n+1)!-1\\ \text{Deci}\\ (n+1)!-1+(n+1)x_{n+1}=(n+2)!-1\Rightarrow\\ (n+1)x_{n+1}=(n+2)!-(n+1)!=(n+1)!(n+2-1)=\\ (n+1)!(n+1)\Rightarrow x_{n+1}=(n+1)!\in\mathbb{N},\ \forall n\in\mathbb{N}\ qed [/tex]